Ranges on Tree

题目描述

给定一棵有 $N$ 个顶点的有根树。根为顶点 $1$。
对于每个 $i = 1, 2, \ldots, N-1$，第 $i$ 条边连接顶点 $u_i$ 和顶点 $v_i$。 对于每个 $i = 1, 2, \ldots, N$，令 $S_i$ 表示以顶点 $i$ 为根的子树中所有顶点的集合。（每个顶点属于以其自身为根的子树，也就是说 $i \in S_i$。） 此外，对于整数 $l$ 和 $r$，令 $[l, r]$ 表示所有介于 $l$ 和 $r$ 之间的整数的集合，也就是 $[l, r] = \lbrace l, l+1, l+2, \ldots, r \rbrace$。 考虑一个由 $N$ 对整数构成的序列 $\big((L_1, R_1), (L_2, R_2), \ldots, (L_N, R_N)\big)$，满足下列条件。

$1 \leq L_i \leq R_i$ 对于每个整数 $i$ 且 $1 \leq i \leq N$ 成立。 对于每一对整数 $(i, j)$ 且 $1 \leq i, j \leq N$，下面成立。 如果 $S_i \subseteq S_j$ 则 $[L_i, R_i] \subseteq [L_j, R_j]$ 如果 $S_i \cap S_j = \emptyset$ 则 $[L_i, R_i] \cap [L_j, R_j] = \emptyset$

可以证明至少存在这样一个序列 $\big((L_1, R_1), (L_2, R_2), \ldots, (L_N, R_N)\big)$。 在这些序列中，输出一个使得 $\max \lbrace L_1, L_2, \ldots, L_N, R_1, R_2, \ldots, R_N \rbrace$（所使用整数的最大值）最小化的序列。（如果存在多个这样的序列，你可以输出其中任意一个。）

输入格式

输入按下列格式从标准输入给出： $N$ $u_1$ $v_1$ $u_2$ $v_2$ $\vdots$ $u_{N-1}$ $v_{N-1}$

输出格式

输出 $N$ 行，格式如下。也就是说，对于每个 $i = 1, 2, \ldots, N$，第 $i$ 行应包含用空格分隔的 $L_i$ 和 $R_i$。 $L_1$ $R_1$ $L_2$ $R_2$ $\vdots$ $L_N$ $R_N$

3
2 1
3 1

1 2
2 2
1 1

5
3 4
5 4
1 2
1 4

1 3
3 3
2 2
1 2
1 1

5
4 5
3 2
5 2
3 1

1 1
1 1
1 1
1 1
1 1

提示

$2 \leq N \leq 2 \times 10^5$ $1 \leq u_i, v_i \leq N$ 输入中的所有数值均为整数。 给定的图是树。$(L_1, R_1) = (1, 2), (L_2, R_2) = (2, 2), (L_3, R_3) = (1, 1)$ 满足这些条件。
确实，我们有 $[L_2, R_2] \subseteq [L_1, R_1], [L_3, R_3] \subseteq [L_1, R_1], [L_2, R_2] \cap [L_3, R_3] = \emptyset$。
此外，$\max \lbrace L_1, L_2, L_3, R_1, R_2, R_3 \rbrace = 2$ 是可能的最小值。

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